ПОСЛІДОВНІСТЬ ФІБОНАЧІ

• подивитись відео "Послідовність Фібоначі"
  

    За визначенням, перші два числа в послідовності Фібоначчі є або 1 і 1, або 0 і 1, залежно від обраного початку послідовностей, а кожне наступне число є сумою двох попередніх.
1,1,2,5,8,13,21,34,55,89,144....

    У природі числа Фібоначі часто трапляються в різних спіральних формах. Так, черешки листя примикають до стебла по спіралі, що проходить між двома сусідніми листками: 1/3 повного оберту в ліщини, 2/5 — у дуба, 3/8 — у тополі і груші, 5/13 — у верби; лусочки на ялиновій шишці, насіння соняшника розташовані спіралями, причому кількості спіралей кожного напрямку також, як правило, числа Фібоначчі.

  Послідовність названа на честь математика XIII століття Леонардо Фібоначчі з Пізи. Його 1202 книга Книга абака представила цю послідовність спільноті західноєвропейських математиків, хоча така послідовність вже була описана раніше як числа Вараханка в індійській математиці. 

Хто такий Фібоначчі?

    Леонардо Пізанський вважається найпершим великим математиком в історії середньовічної Європи. Попри це, своє знамените прізвисько «Фібоначчі» вчений отримав далеко не через свої екстраординарні математичні здібності, а через свє везіння, оскільки «Боначчі» по-італійськи означає «щасливий». 

  Перед тим як стати одним з найвідоміших математиків раннього Середньовіччя, Леонардо Пізанський вивчав точні науки у найбільш просунутих вчителів свого часу, якими вважалися араби. Саме завдяки цій діяльності Фібоначчі, в Європі з’явилися десяткова система числення й арабські цифри, якими ми користуємося дотепер.

Історія відкриття

    У XIII столітті італійський математик Фібоначчі розв'язував таку задачу: Фермер годує кроликів. Кожна пара кроликів народжує одну пару кроликів, коли парі стає 2 місяці, а потім дає потомство в 1 пару кожен місяць. Скільки пар кроликів буде у фермера через n місяців, якщо спочатку у нього був лише одна пара кроликів (вважаємо, що кролики не гинуть і кожен народжений дає потомство за вище описаною схемою)?

     Очевидно, що першого та другого місяця у фермера залишається одна пара , оскільки потомства ще немає. На третій місяць буде дві, оскільки перші через два місяці народять другу пару кроликів. На четвертий місяць перші кролики дадуть ще одну, а другі кролики потомства не дадуть , оскільки їм ще тільки один місяць. Отож на четвертий місяць буде три пари кроликів.

     Можна помітити, що кількість кроликів після n-го місяця дорівнює кількості кроликів, які були у n-1 місяці, плюс кількість народжених кроликів. Останніх буде стільки, скільки є кроликів, що дають потомство, або дорівнює кількості кроликів, яким вже виповнилося 2 місяці (тобто кількості кроликів після n-2 місяця).

      Якщо через F_n позначити кількість кроликів після n-го місяця, то має місце таке рекурентне співвідношення:

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},F_{1}=F_{2}=1}$

    Покладемо F₀ = 0, при цьому співвідношення при n = 2 залишиться істинним. Таким чином утворюється послідовність

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … ,

Чому число Фібоначчі так часто зустрічається в природі?

      Через своє повсюдне застосування в природі, золотий перетин (саме так число Фібоначчі іноді називають в мистецтві й математиці) вважається одним з найбільш гармонійних законів світобудови, який впорядковує структуру навколишньог світу і спрямовує життя на розвиток. 

     Так, правило золотого перетину застосовується природою для утворення траєкторій руху вихрових потоків в ураганах, при утворенні еліптичних галактик, до яких відноситься і наш Чумацький Шлях, при «будівництві» раковини равлика або вушної раковини людини, спрямовує рух косяка риб і показує траєкторію руху переляканої зграї оленів, яка врозтіч тікає від хижака.