Парадокс чотирьох квадратів

    Великий квадрат складається з чотирьох однакових чотирикутників і маленького квадрата. 

    Якщо чотирикутники розгорнути, то вони заповнять площу, займану маленьким квадратом, хоча площа великого квадрата візуально не зміниться. 

     При наступному розвороті маленький квадрат з'явиться знову.

     Як пояснити цей парадокс?

    Цей парадокс пояснюється тим, що сторона (і площа) нового великого квадрата трохи відрізняється від сторони (і площі) того, який був на початку. Якщо як першу фігуру взяти той квадрат, всередині якого немає маленького ромба, подальший аналіз помітно спроститься.

    Сторона початкового квадрата нехай буде ${\displaystyle \alpha }$, і сторони складових його чотирикутників ділять цю сторону  ${\displaystyle \alpha }$ щодо ${\displaystyle \kappa \ \,(1/2<\kappa <1)}$. Обізнана в геометрії легко зможе довести, що побудовані таким чином чотирикутники дорівнюють один одному, мають прямі кути в протилежних вершинах (в центрі і по кутах квадрата) і рівні сторони, суміжні в центрі квадрата (тобто не є ромбоідами + для них існують описані кола (суми протилежних кутів дорівнюють)). Стає також зрозуміло, що ромб в центрі другої фігури є квадратом.

     Сторона маленького квадрата другої фігури буде дорівнює ${\displaystyle \alpha (2\kappa -1)}$. Кут між парою протилежних сторін будь-якої з складових чотирикутників (причому, не важливо, якою парою) нехай буде позначений ${\displaystyle \theta }$. Його точне значення можна розрахувати^] методом координат, або методами класичної геометрії.

    Якщо кожен з чотирикутників, складових перший квадрат, повернути на кут ${\displaystyle \pi }$ навколо центра описаного біля нього кола, то вийде друга фігура, з незафарбованої квадратної областю у центрі. При наступному повороті знову складеться перший квадрат. Площа другого квадрата виявляється в ${\displaystyle (4\kappa (\kappa -1)+2)}$ рази більше площі першого (або, що те ж, в ${\displaystyle \sec ^{2}\theta }$ разів). При ${\displaystyle \kappa \approx 1/2}$ ця відмінність практично непомітно. Наприклад, на пояснювальних малюнках використаний кут ${\displaystyle \theta =10^{\circ }}$(відповідно, ${\displaystyle \kappa =(\mathrm {tg} \,\theta +1)/2\approx 0,588\,2)}$. При цьому різниця між площами великих квадратів складає ${\displaystyle \approx 3{,}11\,\%.}$ Вже таку відмінність складно помітити, хоча значення ${\displaystyle \kappa }$(і, відповідно, значення кута ${\displaystyle \theta }$) тут використовується аж ніяк не маленьке. Таким чином, можна укласти, що помилка, замаскована в умови, полягає в тому, що центри обертання складових чотирикутників знаходяться не там, де це представляється при візуальному контролі картинки (не в точках їх перетину діагоналей). Вони знаходяться у вершинах квадрата, повернутого на кут — ${\displaystyle \theta }$ щодо першого квадрата, хоча його сторони паралельні сторонам другого.

ДЖЕРЕЛО